Estructures geomètriques que modelitzen la dinàmica dissipativa, els sistemes integrables i la quantització geomètrica

En aquesta tesi estudiem diversos objectes matemàtics que són essencials per a formular i modelar sistemes físics. Aplicant les eines proporcionades per la geometria diferencial, desenvolupem i analitzem diferents estructures matemàtiques que s’utilitzen en tres contextos físics: la dinàmica dissipativa, els sistemes integrables i la quantització geomètrica. Per a fer-ho, utilitzem principalment el marc de la geometria b-simplèctica, una extensió natural de la geometria simplèctica dissenyada específicament per a varietats amb vora, basada en el concepte de b-formes introduït per Melrose, i iniciada per Guillemin, Miranda i Pires.

En primer lloc, en el context de la dinàmica dissipativa, introduïm i estudiem un conjunt de models b-cotangents. En aquests models, definits al fibrat cotangent d’una varietat suau, l’estructura fonamental és una forma b-simplèctica que és singular a les fibres. Aquests models generen sistemes dinàmics governats pel Hamiltonià estàndard d’una partícula lliure, acompanyat d’un potencial que depèn de la posició de la partícula. Després d’analitzar diferents tipus de potencials i de trobar que en tots ells s’observa dissipació de l’energia del sistema, demostrem que els models b-cotangents permeten una formulació Hamiltoniana adequada per a sistemes dissipatius. D’aquesta manera, aquests models amplien l’abast de la dinàmica Hamiltoniana i aporten una nova aproximació a l’estudi de sistemes no conservatius.

En segon lloc, en el context dels sistemes integrables, introduïm i investiguem els sistemes b-semitòrics, una família de sistemes que generalitza simultàniament els sistemes semitòrics i els sistemes b-tòrics i que està adaptada per a les varietats b-simplèctiques. Proporcionem una definició completa dels sistemes b-semitòrics, que fa encaixar les característiques dels sistemes semitòrics en el marc de les varietats b-simplèctiques, i construïm tres exemples d’aquest tipus de sistema. Els tres exemples es basen en modificacions del sistema de moments angulars acoblats, un sistema semitòric clàssic que representa l’acoblament de dos rotors rígids. La nostra anàlisi dels exemples, que inclou la classificació dels punts singulars i l’estudi de la dinàmica global, ens permet ressaltar les característiques úniques dels sistemes b-semitòrics.

En tercer lloc, en el context de la quantització geomètrica, introduïm un mètode de quantització de Bohr-Sommerfeld per a les varietats b-simplèctiques tòriques. Establim que la dimensió d’aquest mètode de quantització depèn del recompte amb signe dels punts enters a la imatge de l’aplicació moment de l’acció tòrica. A més, demostrem la seva equivalència amb la quantització geomètrica formal d’aquestes varietats. També presentem un model de quantització geomètrica basat en la cohomologia de feixos, adequat per a sistemes integrables amb singularitats no degenerades, que també depèn del recompte dels punts enters a la imatge de l'aplicació moment.